線形代数例

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 1.2

サイズ $2$ の単位行列または恒等行列は $2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$- 3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (8 - λ) (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(8 - λ) (2 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 8 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.1

$8$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = 16 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$p (λ) = 16 - 8 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2.1.2.2

$- 8 λ$ から $2 λ$ を引きます。

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

ステップ 1.5.2.1.3

$- (- 3 \cdot 6)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.3.1

$- 3$ に $6$ をかけます。

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - - 18$

ステップ 1.5.2.1.3.2

$- 1$ に $- 18$ をかけます。

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} + 18$

ステップ 1.5.2.2

$16$ と $18$ をたし算します。

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 34$

ステップ 1.5.2.3

$- 10 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 34$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{2} - 10 λ + 34 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.7.2

$a = 1$ 、 $b = - 10$ 、および $c = 34$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $λ$ の値を求めます。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 34$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.2.2

$- 4$ に $34$ をかけます。

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.3

$100$ から $136$ を引きます。

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.4

$- 36$ を $- 1 (36)$ に書き換えます。

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (36)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ に書き換えます。

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.7

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$λ = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.9

$6$ を $i$ の左に移動させます。

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

ステップ 1.7.3.3

$\frac{10 \pm 6 i}{2}$ を簡約します。

$λ = 5 \pm 3 i$

ステップ 1.7.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$λ = 5 + 3 i, 5 - 3 i$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 + 3 i$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.4

$- 5 - 3 i$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 - 3 i) \cdot 1 & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.5

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.5.1

$- 5 - 3 i$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.5.2

$- 5 - 3 i$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.5.3

$- 5 - 3 i$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.5.4

$- 5 - 3 i$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & - 5 - 3 i \end{array}]$

ステップ 3.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 8 - 5 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

ステップ 3.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$8$ から $5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

ステップ 3.2.3.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

ステップ 3.2.3.3

$- 3$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4

$2$ から $5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 - 3 i \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = 5 + 3 i$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - 3 i}{3 - 3 i} & \frac{6}{3 - 3 i} & \frac{0}{3 - 3 i} \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 - 3 i + 3 (1 + i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 + i) y = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - i y \\ y \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 - 3 i$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.3

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.4

$- 5 + 3 i$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 + 3 i) \cdot 1 & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.5

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.1

$- 5 + 3 i$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.5.2

$- 5 + 3 i$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.5.3

$- 5 + 3 i$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.5.4

$- 5 + 3 i$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & - 5 + 3 i \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 8 - 5 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$8$ から $5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

$- 3$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

$2$ から $5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 + 3 i \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = 5 - 3 i$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + 3 i}{3 + 3 i} & \frac{6}{3 + 3 i} & \frac{0}{3 + 3 i} \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 i + 3 (1 - i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 - i) y = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y + i y \\ y \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

線形代数 例

線形代数例